Ricevimento su appuntamento al Dipartimento di Matematica (Via Machiavelli).
Il ricevimento è sospeso dal 25 giugno 2015 al 15 settembre 2015.
A partire dalle prove di settembre ogni prova scritta, se superata (voto maggiore o uguale a 18), darà accesso solo alla prova orale associata, che di solito si svolge circa quindici giorni dopo la prova scritta; se la prova orale risultasse non sufficiente l'esame sarà considerato NON SUPERATO e lo studente dovrà risostenere anche la prova scritta.
Gli appelli con me in commissione TERMINERANNO con la sessione di Febbraio-Marzo 2016.
Programma del corso di analisi II (Prof Nicola Taddia A.A. 2014/15 ; 9CFU)
1. Calcolo differenziale in più variabili
Lo spazio Rn: punti di accumulazione, interni, isolati e di frontiera, insiemi aperti e insiemi chiusi, norma euclidea e prodotto scalare. Convergenza di successioni di punti di Rn, condizione necessaria e sufficiente di Cauchy. Limiti per funzioni di più variabili e caratterizzazione sequenziale. Funzioni continue e caratterizzazione sequenziale della continuità, successioni minimizzanti (o massimizzanti) e teorema di esistenza del minimo e del massimo assoluti per una funzione su un insieme chiuso e limitato **, continuità delle restrizioni alle rette, controesempio di una funzione continua in un punto se ristretta a rette passanti per il punto ma non continua. Derivate direzionali e parziali, gradiente, matrice Jacobiana, differenziabilità, piano tangente al grafico, condizione sufficiente per la differenziabilità, interpretazione del gradiente come vettore che individua la direzione di massima variazione della funzione. Studio dettagliato della funzione Arg(x,y). Funzioni composte e teorema di differenziabilità per le funzioni composte (dimostrazione nel "caso speciale" **) . Derivate di ordine superiore, matrice Hessiana e formula di Taylor di ordine 2 *. Punti di minimo o massimo relativo, punti stazionari, matrice Hessiana e condizioni sufficienti per il minimo o il massimo relativo in punti interni*. Teorema delle funzioni implicite per le funzioni di due variabili, interpretazione geometrica per l’insieme degli zeri regolari di una funzione*, ortogonalità del gradiente alle linee di livello. Divergenza e rotore, formule classiche che coinvolgono grad, div e rot.
2. Misura ed integrale di Lebesgue
Estremo inferiore ed estremo superiore di sottoinsiemi di numeri reali, insiemi contigui e proprietà di completezza dei numeri reali. Numerabilità dei numeri razionali. Invertibilità della sommazione nelle serie doppie a termini non negativi. Misura di Lebesgue per un sottoinsieme qualsiasi di Rn, monotonia e subadditività numerabile*, misura zero degli insiemi numerabili. Insiemi misurabili, misurabilità degli insiemi di misura zero, additività della misura sulle famiglie numerabili disgiunte di misurabili*, proprietà e caratterizzazione degli insiemi misurabili. Funzioni misurabili, misurabilità delle funzioni continue, misurabilità del limite puntuale di funzioni misurabili. Misurabilità degli insiemi normali. Definizione d’integrale di Lebesgue per funzioni misurabili e non negative definite su insiemi misurabili. Parte positiva e negativa di una funzione e definizione d’integrale di Lebesgue per funzioni misurabili di segno variabile. Sommabilità e teorema fondamentale di sommabilità (funzioni misurabili e limitate definite su insiemi misurabili di misura finita sono sommabili). Linearità dell’integrale. Invisibilità degli insiemi di misura zero per l’integrale di Lebesgue, integrabilità secondo Riemann delle funzioni monotone e teorema di Beppo Levi **, lemma di Fatou e teorema della convergenza dominata*. Applicazione al passaggio sotto il segno d’integrale del simbolo di serie. Continuità e derivabilità degli integrali dipendenti dai parametri* . Continuità e derivabilità della funzione Gamma di Eulero (metodo della “minima maggiorante sommabile indipendente dal parametro” )*. Teorema di Fubini e formule di riduzione per insiemi normali. Criterio di sommabilità di Tonelli. Diffeomorfismi e teorema di cambiamento di variabile. Calcolo della trasformata di Fourier di una Gaussiana .
3. Integrali su curve e superfici regolari
Curve regolari, vettore tangente, integrale di una funzione continua lungo una curva regolare. Lunghezza di una curva regolare, motivazione euristica della definizione, definizione nel caso di curve rettificabili (ma in generale non regolari), indipendenza dell’integrale dalla parametrizzazione nella classe delle parametrizzazioni equivalenti. Integrale orientato di un campo vettoriale, orientazione delle curve e dipendenza dell’integrale dal “verso di percorrenza” della curva. Circuitazione di un campo vettoriale. Integrale di una funzione complessa lungo una curva regolare. Teorema sull’integrale lungo una curva di un gradiente*. Primitive di campi chiusi su aperti stellati*. Insiemi normali del piano e versore normale esterno alla frontiera. Formule di Gauss Green, teorema della divergenza e teorema di Green**. Superfici regolari, vettore normale, spazio tangente, integrale di una funzione continua su una superficie, estensione del teorema della divergenza ad insiemi normali dello spazio, flusso di un campo a simmetria sferica e lemma di Gauss*, Teorema di Stokes*.
4. Serie di potenze e serie di Fourier
Definizione di convergenza uniforme per una successione di funzioni, il caso particolare delle serie. Condizione necessaria e sufficiente di Cauchy per la convergenza uniforme. Convergenza totale delle serie di funzioni, teorema “convergenza totale implica convergenza uniforme” e controesempio di una serie che converge uniformemente ma non totalmente *. Serie di potenze di variabile reale a coefficienti reali, raggio di convergenza. Serie delle derivate e derivata di una serie di potenze* . Serie di Taylor associata ad una funzione infinitamente derivabile e condizione sufficiente di convergenza alla funzione. Sviluppabilità locale in serie di potenze della somma di una serie di potenze*. Serie di Fourier associata al prolungamento periodico di periodo T di una funzione integrabile secondo Riemann su un periodo. Funzioni continue a tratti e regolari a tratti. Lemma di Riemann Lebesgue. Nucleo di Dirichelet e teorema di convergenza puntuale della serie di Fourier associata ad una funzione periodica regolare a tratti**. Teorema di convergenza uniforme.
L’asterisco * segnala dimostrazioni tra le quali è possibile scegliere quella da portare alla prova orale; il doppio asterisco ** indica quelle particolarmente impegnative e significative.
Il programma è sostanzialmente il contenuto del libro di Enrico Giusti “Analisi II” con le seguenti varianti e aggiunte: il teorema sulla sviluppabilità locale di una somma di una serie di potenze è nel libro di W. Rudin , la parte sulla teoria della misura è una semplificazione di quella presentata in E. Stein , la definizione di integrale di Lebesgue è come in Analysis di Lieb and Loss.
Bibliografia:
E. Giusti: Analisi Matematica II (Boringhieri)
E. Giusti: Esercizi e complementi di Analisi Matematica II (Boringhieri)
E.H.Lieb and M. Loss ; Analysis (American Mathematical Society)
E.Stein; Shakarchi, R.: Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (Princeton University Press)
W.Rudin: Principi di Analisi Matematica (Mc Graw Hill)
G. De Marco: Analisi Matematica II (Zanichelli )
G. De Marco: Esercizi di analisi Matematica II (Zanichelli)
